什么叫对角化
对角化这个概念是针对矩阵而言的，并且矩阵的对角化源自于线性变换的化简，所以最好先知道线性变换和线性变换与矩阵的对应关系
设M为元素取自交换体K中的n阶方阵，将M对角化，就是确定一个对角矩阵D及一个可逆方阵P，使M=PDP-1。设f为典范对应于M的Kn的自同态，将M对角化，就是确定Kn的一个基，使在该基中对应f的矩阵是对角矩阵。
对角矩阵是指只有主对角线上含有非零元素的矩阵，即，已知一个n×n矩阵 ，如果对于 ，则该矩阵为对角矩阵。如果存在一个矩阵 ，使 的结果为对角矩阵，则称矩阵 将矩阵 对角化。对于一个矩阵来说，不一定存在将其对角化的矩阵，但是任意一个n×n矩阵如果存在n个线性不相关的特征向量，则该矩阵可被对角化
什么是矩阵对角化,给我举个简单的例子,谢谢
我用自己的语言说,希望能方便你明白
矩阵对角化源自于线形变换的化简,所以最好先知道线性变换和线性变换与矩阵的对应关系（当然你看下去会发现不知道也可以）
设一线性变换a,在基m下的矩阵为A,在基n下的矩阵为B,m到n的过度矩阵为X,
那么可以证明：B=X'AX （X'是X的转置,注意X是满秩的）
那么定义：A,B是2个矩阵.如果存在可逆矩阵X,满足B=X'AX ,那么说A与B是相似的（是一种等价关系）.
如果存在可逆矩阵X使A相似与一个对角矩阵B,那么说A可对角化.
相应的,如果线性变换a在基m下的矩阵为A,并且A相似于对角矩阵B,那么另X为过度矩阵即可求出基n,并且在n下线性变换a的矩阵为对角矩阵,从而达到了化简.
矩阵对角化是什么意思
我用自己的语言说，希望能方便你明白
矩阵对角化源自于线形变换的化简，所以最好先知道线性变换和线性变换与矩阵的对应关系（当然你看下去会发现不知道也可以）
设一线性变换a，在基m下的矩阵为A，在基n下的矩阵为B，m到n的过度矩阵为X，
那么可以证明：B=X'AX
（X'是X的转置，注意X是满秩的）
那么定义：A，B是2个矩阵。如果存在可逆矩阵X，满足B=X'AX
，那么说A与B是相似的（是一种等价关系）。
如果存在可逆矩阵X使A相似与一个对角矩阵B，那么说A可对角化。
相应的，如果线性变换a在基m下的矩阵为A，并且A相似于对角矩阵B，那么另X为过度矩阵即可求出基n，并且在n下线性变换a的矩阵为对角矩阵，从而达到了化简。
研究矩阵的相似对角化的意义
理论上看，意义是明显的。相似是一种等价关系，对角化相当于对一类矩阵在相似意义下给出了一种简单的等价形式，这对理论分析是方便的。相似的矩阵拥有很多相同的性质，比如特征多项式，特征根，行列式……如果只关心这类性质，那么相似的矩阵可以看作没有区别的，这时研究一个一般的可对角化的矩阵，只要研究它的标准形式——一个对角矩阵就可以了。而对角矩阵是最简单的一类矩阵，研究起来非常方便。这个过程相当于在一个等价类中选取最顺眼的元素研究。
另外，对角化突出了矩阵的特征值，而过度矩阵T反映了特征向量的信息，对角化过程的直观意义还是很明显的。再结合正交矩阵的概念，可以得到一些不平凡的结论，例如实对称矩阵总可以对角化。
实践中的矩阵对角化作用也很大。别的不说，比如要算一个一般的3阶实对称矩阵A的n次幂，n较大时，按矩阵乘法定义去计算是相当繁琐的，计算复杂度呈指数型增长。但是如果把A可以对角化(实对称矩阵总是可以对角化的)，写为=T^(-1)PT,P是对角阵。那么A^n=T^(-1)P^nT,P^n的计算是很简单的，只要把各特征值^n即可，此时计算A^n的复杂度几乎与n无关。
以上纯属个人见解，仅供LZ参考:)
矩阵对角化有什么好处吗？为什么要对角化呢？（举个栗子吧😄）
矩阵对角化的目的
就是为了化简方阵的计算
特别是得到对角线矩阵之后
进行若干次方的计算
就方便了很多，即A=PΛP^-1
就可以得到A^n=PΛ^n P^-1
矩阵对角化
第一个问题，你的概念没有理解清楚。判断A是否可以相似对角化，是看A是否有n个线性无关的特征向量，不同特征值的特征向量是线性无关的，所以如果A有n个不同的特征值，那它一定可以相似对角化，本题中，由于A的秩为1，于是AX=0的解向量的个数是n-1，也就是说，A关于特征值是0的特征向量的线性无关的个数是n-1，除此之外，它还有一个非0特征值的特征向量（不可能所有特征值都是0，否则秩就是0了），因此，总的线性无关的特征向量的个数是n，它可以对角化。
第二个问题，两个非0向量相乘，实际上就是把第一个向量的第一个元素分别乘第二个向量的每个元素，然后写在第一排，再把第一个向量的第二个元素分别乘第二个向量的每个元素，然后写在第二排，以此类推（你只要自己举个例子，按我说的方法试一下就能看出来了），所以任意两行成比例，它的秩为1.
